全等三角形的性质是证明角或线段相等的重要依据，是初中几何的奠基石。掌握全等三角形的证明是学好平面几何的关键。
那么，怎样证明两个三角形全等呢？本文以近年中考试题为例谈几点看法，以提高大家的证题能力。
一、识别基本图形
1．认识图形要素的多重角色
线段或角这些图形要素在同一个图形中往往具有多重角色，我们平时要注意观察，以便准确掌握，这是图形识别的基本功。如图1，AB是△ABC、△ABE和△ABD的公共边，∠1是△ABE、△ADE的内角，也是△ACE的外角，∠1和∠2是邻补角。
2．掌握全等三角形的几种基本变换
基本的全等变换有3种：平移变换、旋转变换和（轴）对称变换，如图2。复杂图形的全等变换是由这3种基本的全等变换复合而成。
二、仔细观察，认真审题
在证明三角形全等时，必须仔细观察图形，认真审清题设和结论。
例1 已知：如图3,AB=CD,AC=BD,AC、BD交于点E。
求证：1）∠A=∠D ，2）EB=EC。
分析:通过观察，要证 EB=EC，需证△AEB≌△DEC，结合条件AB=CD，对顶角∠AEB=∠DEC，（图3）
需证∠A=∠D，还差条件。连结BC，利用BC这 条公共边，结合条件可证得△ABC≌△DCB。当然利用等腰三角形的判定，只需证△ABC≌△DCB。（证略）
三、正确选择判定方法
证明三角形全等的方法较多，需根据题目条件，选择适当方法，详见下表1：
四、构造全等三角形
有些题目中往往没有现成的全等三角形，需添加辅助线构造全等三角形。构造时应遵循相对集中的原则，将分散的条件和结论联系起来。这里介绍一些构造全等三角形的常用方法。
1．利用角平分线构造全等三角形
如果题目中有角平分线，常常在这角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形。
例1（05年镇江市）如图4，在△ABC中，∠C=90，按下列语句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
①作∠B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB上取一点E，使BE=BC；③连结ED。
(2)根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角（不包括BE=BC，∠EBD=∠CBD）
分析：用尺规作角的平分线是新课标要求的基本作图之一，必须牢牢掌握。
(1) ①以点B为圆心，任意长为半径作弧分别交BC、BA于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于MN的一半长为半径作弧，在∠ABC的内部交于点P；③画射线BP交AC于点D，则BD为所求作的∠B的平分线（如图所示）
(2)由图形可以得到：DE=DC，∠BDE=∠BDC（或∠ADE=∠ABC）
理由如下：由BE=BC，∠EBD=∠CBD，BD=BD，根据“边角边（SAS）”可得△EBD≌△CBD，从而得到DE=DC，∠BDE=∠BDC，结论∠ADE=∠ABC。（证略）。
2．利用中线、中点构造全等三角形
如果三角形中有中线，常常倍长中线构造全等三角形
例2．已知：如图5，在△ABC中，CD是AB边的中线，若AC=8，BC=6，CD=5。求证：△ABC是直角三角形。
分析：本题中，已知线段AC、BC、CD不在同一个三角形中，遵循相对集中原则，解题关键是重新构造一个三角形，使之在同一个三角形中。延长CD到E，使DE=CD，连结BE。
∵AD=BD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE，∴BE=AC=8，∠CAB=∠DBE ，在△BEC中，CE=2×5=10，BE=8，BC=6，
∴BC2+BE2=CE2。
∴∠CBE=90，
∵∠CAB=∠DBE
∴∠CAB+∠ABC=90，
∴∠ACB=90 ，
∴△ABC是直角三角形。（证略）
评析：（1）通过倍长中线，使已知条件相对集中，这是一种重要方法。
（2）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要方法。
3．利用平移、旋转、翻折（对称）等全等变换构造全等三角形
用运动的观点看问题，通过平移、旋转、翻折（对称）等全等变换可将题目中分散的条件相对集中，重新组合，达到解题的目的。
例3．已知：如图6，正方形ABCD中，E、F在AD、CD上，∠EBF=45。
求证：EF=AE+CF。
分析：将△ABE绕点B顺时针旋转90至△BCG，由△ABE≌△CBG得AE=CG，∠1=∠3。
∵BE=BG，∠FBG=∠2+∠3=∠1+∠2=45=∠EBF，BF=BF，
∴△EBF≌△GBF，
∴EF=FG=CF+CG=AE+CF。（证略）
4．截长补短法构造全等三角形
所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段；而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段。通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。
例4．已知：如图7，△ABC中，AB=AC，∠A=100，BD平分∠ABC。
求证：AD+BD=BC。
分析：思路1）（截长法）如图 7，从结论出发，在BC上截取BF=BD，只需证明CF=AD。由∠1=∠2，想到在BC上截取BE=BA，连结DE，易证△ABD≌△EBD，则AD=ED，只需证明DE=CF。这就要从条件出发，通过计算角度得出∠C=∠CDF=40，∠DEF=∠DFE=80，CF=DF=DE=AD。（证略）
思路2）（补短法）如图8 ，延长BD到E，使BE=BC，只需证明DE=AD，由∠2=200，计算得∠E=80，∠DCE=∠DCB=40。计算得∠EDC=60，∠BDC=120，故作∠BDC的角平分线DF，则有△ABD≌△FBD，△DEC≌△DFC，从而DE=DF=AD。（证略）
评析：一般地，证明线段的和差倍分关系可用“截长补短”法，而证明角的和差倍分关系能否借鉴“截长补短”的思想方法呢？回答是肯定的。
五．证题思路训练：
平面几何里，证题思路主要有：（1）分析法，即从结论入手，逐步逆推，直至达到已知为止。（2）综合法，即从已知条件入手，运用已学的定理公式推出结论。（3）两头凑，即综合法和分析法有机结合。一方面从已知推可知，达到须知；另一方面由未知看须知，靠拢已知，一旦已知与须知沟通，证题思路就有了。